[已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8]

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 14:07:09
[已知a+b+c=6,且a,b,c>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8.]
已经可以肯定的是当a=b=c=2的时候取"="号.

可参考两个字母时的证明过程,但不要被这个思路卡死...
对于两个字母的情况:
[已知a+b=4,a,b>0,求证:(a+1/a)*(b+1/b)>=25/4.]
证明:
由于a,b>0,因此
待证不等式
<=>(a^2+1)*(b^2+1)>=(25/4)a*b
<=>a^2*b^2+a^2+b^2+1>=(25/4)a*b
<=>(a*b)^2+(a+b)^2-2a*b+1>=(25/4)a*b
又a+b=4,所以
待证不等式
<=>(a*b)^2-(33/4)a*b+17>=0
令f(x)=x^2-(33/4)x+17=(x-33/8)^2+17-(33/8)^2
由基本不等式,有
0<a*b<=[(a+b)/2]^2=4=32/8<33/8,
而函数f(x)在区间(0,33/8]上是单调递减的,
所以有
f(a*b)>=f(4)=0,
即(a*b)^2-(33/4)a*b+17>=0,
由上述分析可知,待证不等式是成立的.
证毕.
注：x^2 表示是x的平方

我原告得到的是三个字母的情况,但就是证不出来,然后就试着从简单的两个字母研究了一下,得到上面的结果,但三个字母的情况还是证不出来。希望有高手指教一下，先谢谢了.

用拉各朗日乘数法：
取L(a,b,c,p)=(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)+p*(a+b+c-6);
分别对L求a b c p的偏导数，且令起为0
可以解出L取最小值是 a,b,c,p的值后带入(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)
则得(a+1/a)*(b+1/b)*(c+1/c)>=125/8

不知道你学过没有，用数学归纳法，很容易的。

最简单和常见的数学归纳法证明方法是证明当n属于所有自然数时一个表达式成，这种方法是由下面两步组成:

递推的基础: 证明当n = 1时表达式成立。

递推的依据: 证明如果当n = m时成立，那么当n = m + 1时同样成立。(递推的依据中的“如果”被定义为归纳假设。 不要把整个第二步称为归纳假设。)

这个方法的原理在于第一步证明起始值在表达式中是成立的，然后证明一个值到下一个值的证明过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中

详细参考《高等数学》上册

hjs1017 ,这说什么话?你说清楚.过些时间不用你的数学归纳法做.